낭만리얼백구~ 세번째스토리

1.확률 변수 X는 1,2,4의 값을 취한다고 한다. P(X=1)=0.3 이고, X의 기대값 이 2.7일때 P(X=2)와 P(X=4)를 구하여라.

2.신장 수술을 받은 환자가 회복할 수 있는 확률은 0.6이라고 알려져 있다. 6명의 환자가 이 수술을 받았을때 다음의 확률을 구하여라.
(1)회복한 사람이 한 사람도 없을 확률
(2)모두 회복할 확률
(3)반이 회복할 확률
(4)적어도 반 이상이 회복할 확률

3.어떤 기계는 14개의 서로 독립적인 부품으로 이루어져 있는데, 그 중 3개 이상의 부품이 고장나면 작동이 안된다. 각각의 부품이 고장날 확률이 0.1이라면 이 기계가 작업을 계속할 확률은?

4.어떤 시험에 여섯 문제가 출제되었는데 그 시험에 합격하려면 적어도 네 문제는 맞추어야 한다.. 각각의 문제는 정답을 포함한 3개의 가능한 답이 있다.
어떤 학생이 시험에 합격할 확률은 얼마인가?

5.우편 주문에서 판매점에서 하루에 받는 주문수는 대략 평균 500, 표준편차 30의 정규 분포에 따른다고 한다. 다음과 같이 주문을 받을 확률을 구하여라.
1)440개 미만
2)530개에서 575개 사이
3)440개에서 470개 사이

6. 성인 남자의 최고 혈압이 평균 138mmHg, 표준편차 10mmHg의 정규 분포를 한다고 알려져 있다. 한 명의 성인 남자를 임의로 뽑았을 때 그의 최고 혈압이 다음과 같이 될 확률을 구하여라.
1)160이상
2)120에서 135사이

7.한 대학생이 엄격한 학칙에 찬성할 확률이 0.7이라고 한다. 임의로 선택된 200명의 학생에게 질문을 하고, 그들이 서로 독립적으로 응답했을 때, 다음을 구하여라.

1)표본에서 엄격한 학칙을 원하는 학생수의 기대값
2)표본에서 엄격한 학칙을 원하는 학생수의 분산
3)140명의 학생이 엄격한 학칙을 원할 근사적 확률
4)130명이상, 146명 미만의 학생이 엄격한 학칙을 원할 근사적 확률

8. 한 나무로부터 추출한 수액의 양은 평균 40, 표준편차 8 의 정규 분포를 따른다.
1)어떤 나무에서 35 이상 나올 확률을 구하여라
2)1,000 그루의 나무에서 채취한다면 35 이상 나오는 나무는 대략 몇 그루나 되겠는가?








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    답
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1.확률 변수 X는 1,2,4의 값을 취한다고 한다. P(X=1)=0.3 이고, X의 기대값 이 2.7일때 P(X=2)와 P(X=4)를 구하여라.
   
    (1) 0.3+2P(X=2)+4P(X=4)=2.7⇒P(X=2)+2P(X=4)=1.2
    (2) 0.3+P(X=2)+P(X=4)=1⇒P(X=2)+P(X=4)=0.7
   
을 연립하면
    P(X=2)=0.2              P(X=4)=0.5
   
2.신장 수술을 받은 환자가 회복할 수 있는 확률은 0.6이라고 알려져 있다. 6명의 환자가 이 수술을 받았을때 다음의 확률을 구하여라.
   

회복하는 환자수: X
X~B(6,  0.6)


   (1)회복한 사람이 한 사람도 없을 확률
    P(X=0)=0.4
    (2)모두 회복할 확률
    P(X=6)=0.6
    (3)반이 회복할 확률
    P(X=3)=6C3×0.6³×0.4³
    (4)적어도 반 이상이 회복할 확률
    P(X≥3)=1-P(X≤2)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=2)=1-0.4-6C1×0.6¹×0.4-6C2×0.6²×0.4⁴


3.어떤 기계는 14개의 서로 독립적인 부품으로 이루어져 있는데, 그 중 3개 이상의 부품이 고장나면 작동이 안된다. 각각의 부품이 고장날 확률이 0.1이라면 이 기계가 작업을 계속할 확률은?
   
    부품이 고장나는 갯수 : X
    X~B(14,  0.1)
        기계가 작업을 계속할 확률 =
    P(X≤2)=P(X=0)-P(X=1)-P(X=2)=0.9¹⁴+6C1×0.1¹×0.9¹³+6C2×0.1²×0.9¹²


4.어떤 시험에 여섯 문제가 출제되었는데 그 시험에 합격하려면 적어도 네 문제는 맞추어야 한다.. 각각의 문제는 정답을 포함한 3개의 가능한 답이 있다.
어떤 학생이 시험에 합격할 확률은 얼마인가?


    문제 맞추는 갯수 : X
    X~B(6,  1/3)
   

    시험에 합격할 확률 =
    P(X≥4)=P(X=4)-P(X=5)-P(X=6)=6C4×(1/3)⁴×(2/3)²+6C5×(1/3)⁵×(2/3)¹+(1/3)⁶


5.우편 주문에서 판매점에서 하루에 받는 주문수는 대략 평균 500, 표준편차 30의 정규 분포에 따른다고 한다. 다음과 같이 주문을 받을 확률을 구하여라.
   
    주문 수 : X
    X~N(500,  30²)
   
아래의 풀이를 위해 표준 정규 분포표를 이용하면 됩니다.
    1)440개 미만
    P(X<440)=P(Z<(440-500)/30)=P(Z<-2)
    2)530개에서 575개 사이
    P(530    3)440개에서 470개 사이
    P(440    

6. 성인 남자의 최고 혈압이 평균 138mmHg, 표준편차 10mmHg의 정규 분포를 한다고 알려져 있다. 한 명의 성인 남자를 임의로 뽑았을 때 그의 최고 혈압이 다음과 같이 될 확률을 구하여라.
   
    최고혈압 : X
    X~N(138,  10²)
    아래의 풀이를 위해 표준 정규 분포표를 이용하면 됩니다.
    1)160이상
    P(X≥160)=P(Z≥(160-138)/10)=P(Z≥2.2)
    2)120에서 135사이
    P(120        

7.한 대학생이 엄격한 학칙에 찬성할 확률이 0.7이라고 한다. 임의로 선택된 200명의 학생에게 질문을 하고, 그들이 서로 독립적으로 응답했을 때, 다음을 구하여라.
   
    엄격한 학칙에 찬성하는 수 : X
    X~B(200,  0.7)
        1)표본에서 엄격한 학칙을 원하는 학생수의 기대값 =
    E[X]=200×0.7=140
    2)표본에서 엄격한 학칙을 원하는 학생수의 분산 =
    Var[X]=200×0.7×0.3=42
   
    조건에 의하여
    X~N(140,  42)
    3)140명의 학생이 엄격한 학칙을 원할 근사적 확률 =
    P(135.5≤X≤140.5)=P(-0.5/√(42)≤Z≤0.5/√(42))=P(-0.771≤Z≤0.771)=2×{P(Z≤0.771)-0.5}
    

    4)130명이상, 146명 미만의 학생이 엄격한 학칙을 원할 근사적 확률
    P(130≤X<146)=P(-10/√(42)≤Z<6/√(42))=P(-1.543≤Z<0.925)=P(0≤Z<0.925)

          +P(0≤Z≤1.543)
    =P(0≤Z<0.925)+P(0≤Z≤1.543)=P(Z<0.925)-0.5+P(Z≤1.543)-0.5
       

8. 한 나무로부터 추출한 수액의 양은 평균 40, 표준편차 8 의 정규 분포를 따른다.
   
    수액의 양 : X
    X~N(40,  8²)
       

1)어떤 나무에서 35 이상 나올 확률을 구하여라
P(X≥35)=P(Z≥-0.625)=P(Z≤0.625)
   

2)1,000 그루의 나무에서 채취한다면 35 이상 나오는 나무는 대략 몇 그루나 되겠는가?
P(Z≤0.625)×1000 그루정도됩니다.